Matematici přepsali historii: 150 let staré pravidlo geometrie padlo díky tvarům koblih

Tým z USA a Německa našel první konkrétní příklad tzv. Bonnetových ploch. Dvě kompaktní, koblihové plochy mají stejné lokální vlastnosti, ale odlišné globální tvary, čímž vyvrátily princip z roku 1867.

Vědci z Technické univerzity v Mnichově (TUM), Technické univerzity v Berlíně a North Carolina State University vyřešili matematický problém, který mátl matematiky více než sto let. Podařilo se jim najít první konkrétní příklad vzácného páru zakřivených ploch známých jako Bonnetovy plochy, čímž vyvrátili 150 let staré pravidlo klasické geometrie.

Princip, který zavedl francouzský matematik Pierre Ossian Bonnet v roce 1867, tvrdil, že pokud jsou ve všech bodech plochy známy dvě klíčové vlastnosti – její metrika a střední křivost – pak lze jednoznačně určit celkový tvar plochy. Tým vědců nyní úspěšně prokázal, že tento předpoklad není vždy správný. „To nám umožňuje vyřešit desítky let starý problém v diferenciální geometrii ploch,“ uvedl Tim Hoffmann, profesor aplikované a výpočetní topologie na TUM.

V teorii ploch Bonnetův princip, známý také jako Bonnetova věta, naznačuje, že dvě základní priority plochy by měly určovat její tvar. První z nich, metrika, popisuje vzdálenosti a úhly měřené podél samotné plochy. Druhou je střední křivost, která měří, jak se plocha ohýbá v trojrozměrném prostoru.

Pro vyvrácení tohoto pravidla vytvořil tým dvě kompaktní, koblihové plochy, známé jako tori. Přestože sdílely stejnou metriku a střední křivost, jejich globální struktury se lišily. „Po mnoha letech výzkumu se nám poprvé podařilo najít konkrétní případ, který ukazuje, že ani u uzavřených, koblihových ploch lokální měření nemusí nutně určovat jediný globální tvar,“ dodal Hoffmann v tiskové zprávě.

Ačkoli výjimky z pravidla byly známy, týkaly se pouze nekompaktních ploch, které se buď nekonečně táhnou jedním směrem, jako rovina, nebo končí na definovaných okrajích. U kompaktních ploch, jako jsou koule, vědci ukázali, že metrika a střední křivost jednoznačně určují plochu. U tori se však dlouho vědělo, že daná metrika a střední křivost mohou popisovat nanejvýš dvě různé plochy. Konkrétní příklad však chyběl po celá desetiletí, dokud jej trojice vědců neposkytla.

„Explicitně konstruujeme pár ponořených tori v trojrozměrném euklidovském prostoru, které jsou spojeny izometrií zachovávající střední křivost,“ uvedl tým. „Tyto Bonnetovy páry tori jsou prvními příklady kompaktních Bonnetových párů.“ Výsledky řeší přetrvávající problém, zda metrika a funkce střední křivosti určují jedinečné hladké kompaktní ponoření. „Navíc dokazujeme, že tyto izometrické tori jsou reálně analytické,“ uvedl tým. „Tím se řeší druhý dlouhodobý otevřený problém, zda reálná analytičnost metriky již určuje jedinečné kompaktní ponoření.“ Studie byla publikována v recenzovaném časopise Publications mathématiques de l’IHÉS.