Tři matematici vyřešili 30 let starou hádanku: Odhalili skrytý řád v náhodnosti, který posune AI

Tři matematici – Dongming Hua, Antoine Song z Kalifornského technologického institutu a Stefan Tudose z Princetonské univerzity – vyřešili dlouholetý matematický problém, který byl považován za neřešitelný.

Tři matematici – Dongming Hua, Antoine Song z Kalifornského technologického institutu a Stefan Tudose z Princetonské univerzity – vyřešili dlouholetý matematický problém, který byl považován za neřešitelný. Jejich důkaz nabízí nový pohled na vysokorozměrné náhodné struktury a mohl by mít významný dopad na datovou vědu, strojové učení a optimalizaci.

Problém, známý jako Talagrandova konvexní domněnka, formuloval v roce 1995 Michel Talagrand, nositel Abelovy ceny. Ptá se, zda lze konvexitu „vytvořit“ ve fixním, uniformním počtu kroků (pomocí operací zvaných Minkowského součty) v libovolném počtu dimenzí. Konvexita v matematice znamená, že tvar nebo funkce se ohýbá směrem ven, bez mezer nebo vnitřních prohlubní. Například kruh nebo čtverec jsou konvexní tvary. Minkowského součty jsou matematické operace, které kombinují dvě sady bodů nebo geometrických tvarů sčítáním každého bodu z první sady s každým bodem z druhé sady. S rostoucím počtem dimenzí se problém stává exponenciálně složitějším, což je označováno jako „prokletí dimenzionality“. Sám Talagrand nevěřil v řešitelnost své domněnky a nabídl 2 000 dolarů tomu, kdo by důkaz předložil.

Hua a Song původně zkoušeli řešení s pomocí umělé inteligence ChatGPT, která jim pomohla zodpovědět některé otázky. Konečný průlom však přinesl Stefan Tudose, který se k týmu připojil později. Matematici přeformulovali Talagrandovu geometrickou domněnku na problém teorie pravděpodobnosti a náhodných vektorů. Ve svém článku, publikovaném na preprintovém serveru arXiv, dokázali ekvivalentní domněnku pro pravděpodobnost, která ukazuje, že jakýkoli 1-subgaussovský náhodný vektor v n dimenzích může být vyjádřen jako součet tří standardních Gaussových náhodných vektorů.

Toto řešení Talagrandovy konvexní domněnky potvrzuje, že pro jakoukoli dostatečně velkou množinu v Gaussově prostoru lze nalézt konvexní množinu významných měr uvnitř trojnásobného součtu původní množiny. Překlenuje tak propast mezi geometrií, pravděpodobností a kombinatorikou a odhaluje překvapivé souvislosti mezi spojitým a diskrétním světem. Ačkoliv se takové matematické problémy mohou zdát abstraktní, mnoho technologií, které používáme v každodenním životě, se opírá o složité matematické nástroje a algoritmy. Řešení Talagrandovy domněnky tak může mít dopad na datovou vědu, strojové učení a oblasti jako optimalizace logistiky, kde jsou běžné podobné modely zahrnující komplexní náhodnost.